Materi Persamaan Garis Singgung Kurva, Kumpulan Soal Pembahasan Terbaru

Persamaan Garis

Persamaan garis yang melalui titik (x1,y1) dengan gradien m adalah :y−y1=m(x−x1)
Sebagai contoh, persamaan garis yang melalui titik (1,4) dengan m = 3 adalah

y − 4 = 3(x − 1)
y − 4 = 3x − 3
y = 3x + 1

Gradien Garis

Gradien  dari persamaan garis :

  • y = ax + b          ⇒ m = a
  • ax + by + c = 0  ⇒ m = −ab

Contoh :

  1. y = −2x + 1  ⇒ m = −2
  2. 6x − 2y + 3 = 0  ⇒ m = −6−2 = 3

Gradien garis yang melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2)  adalah :

m=y2−y1x2−x1

Gradien garis yang membentuk sudut α terhadap sumbu-x positif adalah :
m=tanα
Gradien Garis A dan B :

  • Sejajar : mA=mB
  • Tegak lurus : mA⋅mB=−1

Persamaan Garis Singgung Kurva

Misalkan garis g menyinggung kurva y = f(x) di titik (x1,y1). Persamaan garis singgung kurva di titik tersebut adalah y−y1=m(x−x1)
dengan m=f′(x1)

Contoh-contah variasi soal persamaan garis singgung kurva

Contoh 1

Persamaan garis singgung kurva y=x2+2x dititik (1,3) adalah …

Jawab :
Titik singgung : (1, 3)

f(x) = x2 + 2x  ⇒  f ‘(x) = 2x + 2
m = f ‘(1) = 2(1) + 2 = 4
⇒ m = 4

PGS di titik (1, 3) dengan m = 4 adalah
y − 3 = 4(x − 1)
y − 3 = 4x − 4
y = 4x − 1



Contoh 2

Persamaan garis singgung kurva y=2x−3×2 di titik dengan absis 2 adalah

Jawab :
Absis (x) = 2
y = 2x − 3x2
y = 2(2) − 3(2)2
y = −8
Titik singgung :  (2, −8)
f(x) = 2x − 3x2  ⇒  f ‘(x) = 2 − 6x
m = f ‘(2) = 2 − 6(2) = −10
⇒ m = −10
PGS di titik (2, −8) dengan m = −10 adalah
y − (−8) = −10(x − 2)
y + 8 = −10x + 20
y = −10x + 12
Contoh 3
Persamaan garis singgung kurva y=2x di titik dengan ordinat 2 adalah

Jawab :
Ordinat (y) = 2
y  = 2√x
2 = 2√x
1 = √x
x = 1
Titik singgung : (1, 2)

f(x) = 2√x  ⇒  f ‘(x) = 1x
m = f ‘(1) = 11
⇒ m = 1

PGS di titik (1, 2) dengan m = 1 adalah
y − 2 = 1(x − 1)
y − 2 = x − 1
y = x + 1

Contoh 4
Persamaan garis singgung kurva y=x2+5 yang sejajar dengan garis 2x−y+3=0 adalah

Jawab :
Misalkan :
m1 = gradien garis
m2 = gradien garis singgung2x − y + 3 = 0  ⇒  m1 = 2
Sejajar : m1 = m2

⇒ m2 = 2

f(x) = x2 + 5   ⇒  f ‘(x) = 2x
m= f ‘(x)
2 = 2x

x = 1

y = x2 + 5

y = (1)2 + 5
y = 6

Titik singgung : (1, 6)

PGS di titik (1, 6) dengan m= 2 adalah
y − 6 = 2(x − 1)
y = 2x − 2 + 6
y = 2x + 4
Contoh 5
Persamaan garis singgung kurva y=3−x2 yang tegak lurus terhadap garis 4y=x+1 adalah
Jawab :
Misalkan :
m1 = gradien garis
m2 = gradien garis singgung

4y = x + 1  ⇒  m1 = 14

Tegak lurus : m1 . m2 = −1
14 . m2 = −1
⇒  m= −4
f(x) = 3 − x2  ⇒  f ‘(x) = −2x
m= f ‘(x)
−4 = −2x

x = 2

y = 3 − x2

y = 3 − (2)2
y = −1

Titik singgung : (2, −1)

PGS di titik (2, −1) dengan m2 = −4 adalah
y − (−1) = −4(x − 2)
y + 1 = −4x + 8
y = −4x + 7
Contoh 6
Tentukan persamaan garis singgung kurva y=x−2 di titik potong kurva itu terhadap sumbu-x !
Jawab :
Titik potong sumbu-x ⇒ y = 0
y = √x − 2
0 = √x − 2
√x = 2
x = 4
Titik singgung : (4, 0)
f(x) = √x − 2  ⇒  f′(x)=12x
m = f ‘(4) = 124=14
⇒ m = 14
PGS di titik (4, 0) dengan m = 14 adalah
y − 0 = 14(x − 4)
y = 14x − 1
Contoh 7
Tentukan persamaan garis normal kurva y=x2 yang sejajar dengan garis x+4y−5=0 !
Jawab :
Garis normal adalah garis yang melalui titik singgung kurva dan tegak lurus terhadap garis singgung kurva di titik tersebut.
Misalkan :

m1 = gradien garis
m2 = gradien garis singgung
mn = gradien garis normal

x + 4y − 5 = 0 ⇒ m1 = −14

Diketahui garis normal sejajar dengan garis x + 4y − 5 = 0, maka :
mn = m
⇒ mn −14
Karena garis singgung dan garis normal saling tegak lurus, maka :
m2 .mn = −1
m2 .−14 = −1
m2 = 4
f(x) = x2  ⇒  f ‘(x) = 2x
m2 = f ‘(x)
4 = 2x

x = 2

y = x2
y = (2)2
y = 4
Titik singgung : (2, 4)
Persamaan garis normal adalah persamaan garis yang melalui titik (2, 4) dengan mn=−14, yaitu :
y − 4 = −14(x − 2)
y − 4 = −14x + 12
y = −14x + 92 atau
x + 4y − 18 = 0
Contoh 8

Garis y = x memotong kurva y=x2−4x+4 di titik P dan Q. Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik potong tersebut !

Jawab :
Misalkan :
y1 = x2 − 4x + 4
y2 = xTitik potong P dan Q :
y1 = y2
x2 − 4x + 4 = x
x2 − 5x + 4 = 0
(x − 1)(x − 4) = 0

x = 1   x = 4

Substitusi x = 1 dan x = 4 ke persamaan kurva atau garis :
x = 1 ⇒ y = 1
x = 4 ⇒ y = 4
Titik potong : P(1, 1) dan Q(4, 4)
f(x) = x2 − 4x + 4  ⇒  f ‘(x) = 2x − 4
mP = f ‘(1) = 2(1) − 4 = −2
⇒ mP = −2
mQ = f ‘(4) = 2(4) − 4 = 4

⇒ mQ = 4

PGS di titik P(1,1) dengan mP = −2 adalah
y − 1 = −2(x − 1)
y = −2x + 3
PGS di titik Q(4, 4) dengan mQ = 4  adalah
y − 4 = 4(x − 4)
y = 4x − 12
Contoh 9
Tentukan persamaan garis singgung kurva y=x2−4x+6 yang melalui titik (2,1) !
Jawab :
Uji titik (2, 1)
y = x− 4x + 6
1 = (2)− 4(2) + 6
1 ≠ 2
Karena tidak memenuhi persamaan kurva, maka titik (2, 1) bukan titik singgung.Cari titik singgung pada kurva sehingga garis singgungnya melalui titik (2, 1).
f(x) = x− 4x + 6   ⇒  f ‘(x) = 2x − 4
m = f ‘(x)
⇒ m = 2x − 4
Persamaan garis di titik (2, 1) dengan m=2x−4 adalah
y − 1 = (2x − 4)(x − 2)
y − 1 = 2x− 8x + 8
y = 2x− 8x + 9
Substitusi persamaan diatas ke persamaan kurva :
2x− 8x + 9 = x− 4x + 6
x− 4x + 3 = 0
(x − 1)(x − 3) = 0
x = 1   x = 3
x = 1 ⇒  y = (1)− 4(1) + 6 = 3
x = 3 ⇒  y = (3)− 4(3) + 6 = 3
Titik singgung : A(1, 3) dan B(3, 3)
f ‘(x) = 2x − 4
mA = f ‘(1) = 2(1) − 4 = −2
⇒ mA = −2
mB = f ‘(3) = 2(3) − 4 = 2

⇒ mB = 2

PGS di titik A(1, 3) dengan mA = −2  adalah
y − 3 = −2(x − 1)
y = −2x + 5
PGS di titik B(3, 3) dengan mB = 2 adalah
y − 3 = 2(x − 3)
y = 2x − 3
Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik (2,1) dan menyinggung kurva y=x2−4x+6 adalah  y=−2x+5  dan y=2x−3
Contoh 10
Jika garis singgung pada kurva y = √x  di titik P membentuk sudut 45° dengan sumbu-x positif, tentukan koordinat titik P dan persamaan garis singgung di titik P tersebut !
Jawab :
m = tan 45° = 1
⇒ m = 1
f(x) = √x  ⇒  f ‘(x) = 12x
m = f ‘(x)
1 = 12x
2√x = 1
√x = 12

x = 14

y = √x
y = 14
y = 12
Titik singgung : P(14,12)
PGS di titik P(14,12) dengan m=1 adalah
y − 12 = 1(x−14)
y=x+14   atau  4x − 4y + 1 = 0
Contoh 11
Garis k menyinggung kurva y=x2−4x−3+2a di titik P yang berabsis 4. Jika garis l tegak lurus terhadap garis k di titik P dan melalui titik Q (8,2), tentukan nilai a !
Jawab :
Absis (x) = 4
y = x− 4x − 3 + 2a
y = (4)− 4(4) − 3 + 2a
y = 2a − 3
Titik singgung P(4, 2a − 3)
Cari gradien garis singgung k :
f(x) =  x− 4x − 3 + 2a
f ‘(x) = 2x − 4
mk = f ‘(4) = 2(4) − 4
⇒ mk = 4
Garis l tegak lurus garis k maka :
ml . mk = −1
ml . 4 = −1
ml = −14
Ingat :
Gradien garis yang melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2)  adalah :
m=y2−y1x2−x1
Garis l melalui titik P(4, 2a − 3) dan Q (8, 2), maka :
⇔  ml = 2−(2a−3)8−4
⇔  −14 = 5−2a4
⇔  −1 = 5 − 2a
⇔  2a = 6
⇔  a = 3
Contoh 12

Jika garis x−2y=0 menyinggung kurva y=a−2x dikuadran III, tentukan nilai a !

Jawab :
x − 2y = 0 ⇒ m = 12
f(x) = a − 2x  ⇒  f ‘(x) = 2×2
m =  f ‘(x)
12 = 2×2
x= 4
x = ±2
Karena titik singgung terletak di kuadran III, maka x harus bernilai negatif.

⇒  x = −2

x − 2y = 0
−2 − 2y = 0
−2y = 2
y = −1
Titik singgung : (−2, −1)
Substitusi (−2, −1) ke persamaan kurva :
y = a − 2x
−1 = a − 2(−2)
−1 = a + 1
⇒ a = −2
Contoh 13
Garis y=4x+1 menyinggung kurva y=ax2+bx di titik dengan absis 2. Tentukan nilai 4a−b !
Jawab :
Absis (x) = 2
y = 4x + 1
y =4(2) + 1
y = 9
Titik singgung : (2, 9)
Substitusi titik (2, 9) ke persamaan kurva :
y = ax+ bx
9 = a(2)+ b(2)
4a + 2b = 9 ……………………………….. (1)
y = 4x + 1  ⇒  m = 4
f(x) = ax+ bx   ⇒   f ‘(x) = 2ax + b
m = f ‘(2)
4 = 2a(2) + b
4a + b = 4  ………………………………… (2)
Eliminasi (1) dan (2) :
4a + 2b = 9
4a + b = 4    _
4a + b = 5

Dari persamaan (2) :
4a + b = 4

4a + 5 = 4
4a = -1
Jadi, 4a – b = -1 – 5 = -6

Tags: