Materi Persamaan Garis Singgung Kurva, Kumpulan Soal Pembahasan Terbaru

Persamaan Garis

Persamaan garis yang melalui titik $(x_{1}, y_{1})$ dengan gradien m adalah : $y - y_{1} = m (x - x_{1})$
Sebagai contoh, persamaan garis yang melalui titik $(1, 4)$ dengan m = 3 adalah

y − 4 = 3(x − 1)
y − 4 = 3x − 3
y = 3x + 1

Gradien Garis

Gradien dari persamaan garis :

y = ax + b ⇒ m = a
ax + by + c = 0 ⇒ m = $- \frac{a}{b}$

Contoh :

y = −2x + 1 ⇒ m = −2
6x − 2y + 3 = 0 ⇒ m = $- \frac{6}{- 2}$ = 3

Gradien garis yang melalui titik $(x_{1}, y_{1})$ dan $(x_{2}, y_{2})$ adalah :

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

Gradien garis yang membentuk sudut α terhadap sumbu-x positif adalah :
$m = t a n α$
Gradien Garis A dan B :

Sejajar : $m_{A} = m_{B}$
Tegak lurus : $m_{A} \cdot m_{B} = - 1$

Persamaan Garis Singgung Kurva

Misalkan garis g menyinggung kurva y = f(x) di titik

(x_{1}, y_{1})

. Persamaan garis singgung kurva di titik tersebut adalah

y - y_{1} = m (x - x_{1})

dengan

m = f^{'} (x_{1})

Contoh-contah variasi soal persamaan garis singgung kurva

Contoh 1

Persamaan garis singgung kurva $y = x^{2} + 2 x$ dititik $(1, 3)$ adalah …

Jawab :
Titik singgung : (1, 3)

f(x) = x² + 2x ⇒ f ‘(x) = 2x + 2
m = f ‘(1) = 2(1) + 2 = 4
⇒ m = 4

PGS di titik (1, 3) dengan m = 4 adalah
y − 3 = 4(x − 1)
y − 3 = 4x − 4
y = 4x − 1

Contoh 2

Persamaan garis singgung kurva $y = 2 x - 3 x^{2}$ di titik dengan absis 2 adalah

Jawab :

Absis (x) = 2

y = 2x − 3x²

y = 2(2) − 3(2)²
y = −8

Titik singgung : (2, −8)

f(x) = 2x − 3x²⇒ f ‘(x) = 2 − 6x

m = f ‘(2) = 2 − 6(2) = −10
⇒ m = −10

PGS di titik (2, −8) dengan m = −10 adalah

y − (−8) = −10(x − 2)

y + 8 = −10x + 20
y = −10x + 12

Contoh 3

Persamaan garis singgung kurva

y = 2 \sqrt{x}

di titik dengan ordinat 2 adalah

Jawab :
Ordinat (y) = 2
y = 2√x
2 = 2√x
1 = √x
x = 1
Titik singgung : (1, 2)

f(x) = 2√x ⇒ f ‘(x) = $\frac{1}{\sqrt{x}}$
m = f ‘(1) = $\frac{1}{\sqrt{1}}$
⇒ m = 1

PGS di titik (1, 2) dengan m = 1 adalah
y − 2 = 1(x − 1)
y − 2 = x − 1
y = x + 1

Contoh 4
Persamaan garis singgung kurva $y = x^{2} + 5$ yang sejajar dengan garis $2 x - y + 3 = 0$ adalah

Jawab :

Misalkan :
m₁ = gradien garis
m₂ = gradien garis singgung2x − y + 3 = 0 ⇒ m₁ = 2

Sejajar : m₁ = m₂

⇒ m₂ = 2

f(x) = x² + 5 ⇒ f ‘(x) = 2x

m₂= f ‘(x)

2 = 2x

x = 1

y = x² + 5

y = (1)² + 5
y = 6

Titik singgung : (1, 6)

PGS di titik (1, 6) dengan m₂= 2 adalah

y − 6 = 2(x − 1)

y = 2x − 2 + 6
y = 2x + 4

Contoh 5

Persamaan garis singgung kurva

y = 3 - x^{2}

yang tegak lurus terhadap garis

4 y = x + 1

adalah

Jawab :

Misalkan :
m₁ = gradien garis
m₂ = gradien garis singgung

4y = x + 1 ⇒ m₁ = $\frac{1}{4}$

Tegak lurus : m₁ . m₂ = −1

\frac{1}{4}

. m₂ = −1
⇒ m₂= −4

f(x) = 3 − x² ⇒ f ‘(x) = −2x

m₂= f ‘(x)

−4 = −2x

x = 2

y = 3 − x²

y = 3 − (2)²
y = −1

Titik singgung : (2, −1)

PGS di titik (2, −1) dengan m₂ = −4 adalah

y − (−1) = −4(x − 2)

y + 1 = −4x + 8
y = −4x + 7

Contoh 6

Tentukan persamaan garis singgung kurva

y = \sqrt{x} - 2

di titik potong kurva itu terhadap sumbu-x !

Jawab :

Titik potong sumbu-x ⇒ y = 0

y = √x − 2

0 = √x − 2

√x = 2

x = 4

Titik singgung : (4, 0)

f(x) = √x − 2 ⇒

f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

m = f ‘(4) =

\frac{1}{2 \sqrt{4}} = \frac{1}{4}

⇒ m =

\frac{1}{4}

PGS di titik (4, 0) dengan m =

\frac{1}{4}

adalah

y − 0 =

\frac{1}{4}

(x − 4)
y =

\frac{1}{4}

x − 1

Contoh 7

Tentukan persamaan garis normal kurva

y = x^{2}

yang sejajar dengan garis

x + 4 y - 5 = 0

Jawab :

Garis normal adalah garis yang melalui titik singgung kurva dan tegak lurus terhadap garis singgung kurva di titik tersebut.

Misalkan :

m₁ = gradien garis
m₂ = gradien garis singgung
m_n= gradien garis normal

x + 4y − 5 = 0 ⇒ m₁ = $- \frac{1}{4}$

Diketahui garis normal sejajar dengan garis x + 4y − 5 = 0, maka :

m_n= m
⇒ m_n=

- \frac{1}{4}

Karena garis singgung dan garis normal saling tegak lurus, maka :

m₂_.m_n= −1

m₂_.

- \frac{1}{4}

= −1

m₂= 4

f(x) = x²⇒ f ‘(x) = 2x

m₂= f ‘(x)

4 = 2x

x = 2

y = x²
y = (2)²
y = 4

Titik singgung : (2, 4)

Persamaan garis normal adalah persamaan garis yang melalui titik (2, 4) dengan

m_{n} = - \frac{1}{4}

, yaitu :

y − 4 =

- \frac{1}{4}

(x − 2)
y − 4 =

- \frac{1}{4}

x +

\frac{1}{2}

y =

- \frac{1}{4}

x +

\frac{9}{2}

atau
x + 4y − 18 = 0

Contoh 8

Garis y = x memotong kurva $y = x^{2} - 4 x + 4$ di titik P dan Q. Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik potong tersebut !

Jawab :

Misalkan :

y₁ = x² − 4x + 4
y₂= xTitik potong P dan Q :

y₁ = y₂

x² − 4x + 4 = x

x² − 5x + 4 = 0

(x − 1)(x − 4) = 0

x = 1 x = 4

Substitusi x = 1 dan x = 4 ke persamaan kurva atau garis :

x = 1 ⇒ y = 1

x = 4 ⇒ y = 4
Titik potong : P(1, 1) dan Q(4, 4)

f(x) = x² − 4x + 4 ⇒ f ‘(x) = 2x − 4

m_P= f ‘(1) = 2(1) − 4 = −2
⇒ m_P= −2

m_Q= f ‘(4) = 2(4) − 4 = 4

⇒ m_Q= 4

PGS di titik P(1,1) dengan m_P = −2 adalah

y − 1 = −2(x − 1)
y = −2x + 3

PGS di titik Q(4, 4) dengan m_Q = 4 adalah

y − 4 = 4(x − 4)
y = 4x − 12

Contoh 9

Tentukan persamaan garis singgung kurva

y = x^{2} - 4 x + 6

yang melalui titik

(2, 1)

Jawab :

Uji titik (2, 1)
y = x²− 4x + 6
1 = (2)²− 4(2) + 6
1 ≠ 2
Karena tidak memenuhi persamaan kurva, maka titik (2, 1) bukan titik singgung.Cari titik singgung pada kurva sehingga garis singgungnya melalui titik (2, 1).
f(x) = x²− 4x + 6 ⇒ f ‘(x) = 2x − 4
m = f ‘(x)
⇒ m = 2x − 4

Persamaan garis di titik (2, 1) dengan

m = 2 x - 4

adalah

y − 1 = (2x − 4)(x − 2)

y − 1 = 2x²− 8x + 8
y = 2x²− 8x + 9

Substitusi persamaan diatas ke persamaan kurva :

2x²− 8x + 9 = x²− 4x + 6

x²− 4x + 3 = 0

(x − 1)(x − 3) = 0

x = 1 x = 3

x = 1 ⇒ y = (1)²− 4(1) + 6 = 3

x = 3 ⇒ y = (3)²− 4(3) + 6 = 3

Titik singgung : A(1, 3) dan B(3, 3)

f ‘(x) = 2x − 4

m_A = f ‘(1) = 2(1) − 4 = −2

⇒ m_A = −2
m_B = f ‘(3) = 2(3) − 4 = 2

⇒ m_B = 2

PGS di titik A(1, 3) dengan m_A = −2 adalah

y − 3 = −2(x − 1)
y = −2x + 5

PGS di titik B(3, 3) dengan m_B = 2 adalah

y − 3 = 2(x − 3)
y = 2x − 3

Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik

(2, 1)

dan menyinggung kurva

y = x^{2} - 4 x + 6

adalah

y = - 2 x + 5

dan

y = 2 x - 3

Contoh 10

Jika garis singgung pada kurva y = √x di titik P membentuk sudut 45° dengan sumbu-x positif, tentukan koordinat titik P dan persamaan garis singgung di titik P tersebut !

Jawab :

m = tan 45° = 1

⇒ m = 1

f(x) = √x ⇒ f ‘(x) =

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

m = f ‘(x)

1 =

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

2√x = 1

√x =

\frac{1}{2}

x = $\frac{1}{4}$

y = √x
y =

\sqrt{\frac{1}{4}}

y =

\frac{1}{2}

Titik singgung : P

(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})

PGS di titik P

(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})

dengan

m = 1

adalah

y −

\frac{1}{2}

= 1

(x - \frac{1}{4})

y = x + \frac{1}{4}

atau 4x − 4y + 1 = 0

Contoh 11

Garis k menyinggung kurva

y = x^{2} - 4 x - 3 + 2 a

di titik P yang berabsis 4. Jika garis l tegak lurus terhadap garis k di titik P dan melalui titik Q

(8, 2)

, tentukan nilai a !

Jawab :

Absis (x) = 4
y = x²− 4x − 3 + 2a
y = (4)²− 4(4) − 3 + 2a
y = 2a − 3

Titik singgung P(4, 2a − 3)

Cari gradien garis singgung k :

f(x) = x²− 4x − 3 + 2a

f ‘(x) = 2x − 4

m_k = f ‘(4) = 2(4) − 4
⇒ m_k = 4

Garis l tegak lurus garis k maka :

m_l . m_k = −1

m_l . 4 = −1

m_l =

- \frac{1}{4}

Ingat :

Gradien garis yang melalui titik

(x_{1}, y_{1})

dan

(x_{2}, y_{2})

adalah :

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

Garis l melalui titik P(4, 2a − 3) dan Q (8, 2), maka :

⇔ m_l =

\frac{2 - (2 a - 3)}{8 - 4}

⇔

- \frac{1}{4}

\frac{5 - 2 a}{4}

⇔ −1 = 5 − 2a

⇔ 2a = 6

⇔ a = 3

Contoh 12

Jika garis $x - 2 y = 0$ menyinggung kurva $y = a - \frac{2}{x}$ dikuadran III, tentukan nilai a !

Jawab :

x − 2y = 0 ⇒ m =

\frac{1}{2}

f(x) = a −

\frac{2}{x}

⇒ f ‘(x) =

\frac{2}{x^{2}}

m = f ‘(x)

\frac{1}{2}

\frac{2}{x^{2}}

x²= 4

x = ±2

Karena titik singgung terletak di kuadran III, maka x harus bernilai negatif.

⇒ x = −2

x − 2y = 0

−2 − 2y = 0

−2y = 2

y = −1

Titik singgung : (−2, −1)

Substitusi (−2, −1) ke persamaan kurva :

y = a −

\frac{2}{x}

−1 = a −

\frac{2}{(- 2)}

−1 = a + 1
⇒ a = −2

Contoh 13

Garis

y = 4 x + 1

menyinggung kurva

y = a x^{2} + b x

di titik dengan absis 2. Tentukan nilai

4 a - b

Jawab :

Absis (x) = 2

y = 4x + 1

y =4(2) + 1
y = 9

Titik singgung : (2, 9)

Substitusi titik (2, 9) ke persamaan kurva :

y = ax²+ bx

9 = a(2)²+ b(2)

4a + 2b = 9 ……………………………….. (1)

y = 4x + 1 ⇒ m = 4

f(x) = ax²+ bx ⇒ f ‘(x) = 2ax + b

m = f ‘(2)

4 = 2a(2) + b

4a + b = 4 ………………………………… (2)

Eliminasi (1) dan (2) :

4a + 2b = 9

4a + b = 4 _

4a + b = 5

Dari persamaan (2) :
4a + b = 4

4a + 5 = 4

4a = -1

Jadi, 4a – b = -1 – 5 = -6

SHARE ON Twitter Facebook Google+ Pinterest

Materi Persamaan Garis Singgung Kurva, Kumpulan Soal Pembahasan Terbaru

Persamaan Garis

Gradien Garis

Persamaan Garis Singgung Kurva

Contoh-contah variasi soal persamaan garis singgung kurva

DOWNLOAD SOAL USBN TIK SMP/MTS TERBARU 2018 (BESERTA KUNCI JAWABAN)

Tugas Kuliah: BELAJAR, PENGAJARAN, DAN PEMBELAJARAN DI SD/MI

DOWNLOAD RPP MATEMATIKA K13 Kelas VIII

SOAL MID SEMSETER 2 PKN K13 KELAS 7 TERBARU BESERTA KUNCI JAWABAN

Makalah: Metode Demonstrasi dalam Pembelajaran

DOWNLOAD IDENTIFIKASI KI DAN KD SEJARAH SEMESTER 1 KELAS XII K13